§1.4 函数极限

函数极限有如下两种形式

1、自变量趋近于有限值(记作)时，对应的函数值的变化情况。

2、自变量的绝对值趋于无穷大( 记作)时，对应的函数值的变化情况。

一、自变量趋向于有限值时的函数极限

1、语言

数列极限可用函数观点来重新加以解释：

当自变量取正整数 且无限增大时，对应函数值无限地接近于常数。

据此， 我们不难给出一种新极限的描述性定义:

当自变量任意地趋近于有限值时，对应的函数值无限地趋近于确定常数， 那么就称 是函数在时的极限。

为获得这类新极限的精确定义，参照数列极限定义，作适当的移植工作。

在的过程中， 函数值无限趋近于， 意指：

可任意小， 即：（其中任意给定）。

而无限趋近于，是在条件下实现的，也就是说

需要充分地接近于，即：（其中是某个正数）。

函数极限的语言

若对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于一切适合不等式 的，对应的函数值， 都适合不等式

那么常数称之为函数当时的极限，并记作

(1)、定义中表示。这是因为，但达不到，因此函数在点处的极限，与函数在该点处是否有定义无关。

(2)、是任意给定的正数，而依赖于，通常是的函数，但与无关。

(3)、函数极限语言可简述成下列形式

则。

（4）、 的几何意义

当属于，但 时，的图形上点的纵坐标 落入两直线 与 之间。

2、运用语言证明函数极限

【例1】设为常数，试证：

证明：，欲使

只要取等于任意正实数，如 ，当 时，有

故 。

【例2】试证：

证明：，欲使

只要取，当 时，有

故：

【例3】设，证明：。

证明：，欲使

因，只要即可，(因)

，可取；

另一方面，条件，因此，可取；

结合上述两点，应取，当时，有

只要取，当时，有

故：

3、两个定理

【定理一】(函数的保号性)如果，且(或)，则存在着点的某一去心邻域，当在该邻域内时，恒有(或)。

由函数极限的几何意义， 这一结论比较明显。

【定理二】(函数极限的保号性)如果在的某一去心邻域内(或)， 而且， 那未 (或 )。

证明:反证法

假设，而上述结论不成立，即。

据定理一，存在一个的去心邻域，在该邻域内，这与的假定相矛盾。所以 。

类似地可证明的情形。

4、左右极限

上述时函数的极限，是既从的左侧也从的右侧趋向于，因此，我们也称它为双侧极限。

有时，我们仅考虑从的左侧趋向于的情形(记作)，或仅从的右侧趋向于的情形(记作)，也就是所谓单侧极限。

很显然， 单侧极限只是双侧极限的一个特殊形式。

由函数双侧极限的语言，不难给出函数的左右极限定义。

类似地，可给出函数的右极限定义。

函数的左右极限有一个十分重要的性质：

当时极限存在的充要条件是左极限、右极限均存在且相等。

二、自变量趋向无穷大时函数的极限

如果在的过程中，对应的函数值无限接近于确定的数值，那末叫做函数当时的极限。

这类极限也可用精确语言来描述。

1、 语言

对这一定义我们特别给出几点注解，它对理解语言是非常有帮助的。

(1)、如果且无限增大，( 记作 )， 则只要将上述定义中的

改为， 就得到的定义。

同样， 而无限增大 (记作: )，则只要将上述定义中

改为 就得到 的定义。

(2)、的几何意义

作直线，则总存在正数，使得当时，函数的图形位于这两条直线之间。

2、举例

【例4】试证明:

必须指出，该函数极限具有十分鲜明的几何特性:

直线 是曲线的图形的水平渐近线。一般地，我们有结论：

如果 ，则直线是曲线的一条水平渐近线。